Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/244

238

RECHERCHE DU CENTRE

$\mathrm {{\frac {A'X}{A'Y}}={\frac {CX}{CY}}} .{\frac {b'}{a'}}\,;$

et de plus

${\rm {{\frac {PX}{PY}}={\frac {CX}{CY}}.{\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {CX}{CY}}.\lambda \,;}}$

donc

$\mathrm {{\frac {AX}{AY}}.{\frac {A'X}{A'Y}}=\left({\frac {CX}{CY}}\right)^{2}} .{\frac {bb'}{aa'}}=\mathrm {\left({\frac {CX}{CY}}\right)^{2}} \lambda ^{2},$

et par conséquent

$\lambda =\pm {\sqrt {\frac {bb'}{aa'}}}.$

De ces deux valeurs, l’une appartient évidemment au point ${\rm {P}}$ que l’on considère et l’autre au point ${\rm {Q,}}$ puisque ces deux points doivent jouir des mêmes propriétés. D’après cela, on a tout ce qu’il faut pour déterminer tous les élémens de l’une et de l’autre courbes, lieux des centres des coniques proposées ; car, en ne considérant que l’une d’entre elles ; puisqu’elle passe par l’origine, son équation sera de la forme

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2A'x+2B'y=0\,;$

On exprimera qu’elle touche la droite $CP$^[1] en écrivant

$A'+\lambda B'=0\,;$

devant ensuite passer par le point $K,$ milieu de $XY,$ et devant en outre avoir son centre au milieu $O$ de $CI,$ on aura encore

1. Annales, tom. IX, pag. 131.