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DES SECTIONS CONIQUES.

$aa'(b+b')^{2}-bb'(a+a')^{2},$

$aa'(b-b')^{2}-bb'(a-a')^{2},$

$aa'(b^{2}+b'^{2})-bb'(a^{2}+a'^{2}),$

${\frac {(a+a')^{2}(b-b')^{2}-(b+b')^{2}(a-a')^{2}}{4}},$

$-(ab-a'b')(ab'-ba'),$

sont toutes équivalentes, on trouvera que tous les termes de l’équation produit sont exactement divisibles par la quantité constante

${\frac {4\left\{(a+a')^{2}(b-b')^{2}-(b+b')^{2}(a-a')^{2}\right\}}{aa'}}\,;$

en supprimant donc ce facteur, on parviendra à l’équation du quatrième degré

$(b-b')^{4}x^{4}-4(a+a')(b+b')^{2}(b-b')x^{3}y$

$+\left\{3(a-a')^{2}(b-b')^{2}+8aa'(b-b')^{2}+8bb'(a-a')^{2}\right\}xy$

$(a-a')^{4}y^{4}-4(a+a')(b+b')^{2}(a-a')xy^{3}$

$\left.{\begin{aligned}+4(a+a')(b-b')^{2}x^{3}-4(a+a')\left\{2aa'(b-b')^{2}-bb'(a-a')^{2}\right\}xy^{2}&\\\qquad \qquad \qquad +4bb'\left\{bb'(a-a')^{2}-aa'(b-b')^{2}\right\}x^{2}&\\+4(b+b')(a-a')^{2}y^{3}-4(b+b')\left\{2bb'(a-a')^{2}-aa'(b-b')^{2}\right\}x^{2}y&\\\qquad \qquad \qquad +4aa'\left\{aa'(a-a')^{2}-bb'(b-b')^{2}\right\}y^{2}&\end{aligned}}\right\}=0\,;$

or, c’est à cela que revient exactement l’équation de la page 393 du tom. XI.^e, en la développant et l’ordonnant comme celle-ci ; ainsi, cette équation est décomposable en deux facteurs représentant chacun une section conique, conformément à ce qui avait été annoncé.

Supposons qu’il s’agisse de rechercher, parmi toutes les sections coniques qui, passant par les points ${\rm {A,A',}}$ touchent les droites données ${\rm {CX,CY,}}$ celles d’entre elles qui sont en même temps des hyperboles équilatères ; ces hyperboles pouvant faire partie de