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QUADRILATÈRE

$\left.{\begin{array}{rll}x^{2}&={\cfrac {bc\left(a^{2}+d^{2}\right)+ad\left(b^{2}+c^{2}\right)}{bc+ad}}&={\cfrac {(ac+bd)(ab+cd)}{bc+ad}},\\\\y^{2}&={\cfrac {ab\left(c^{2}+d^{2}\right)+cd\left(a^{2}+b^{2}\right)}{ab+cd}}&={\cfrac {(ac+bd)(bc+ad)}{ab+cd}}\,;\end{array}}\right\}\quad$(1)

et par suite

$xy=ac+bd,\qquad {\frac {x}{y}}={\frac {ab+cd}{bc+ad}}.\qquad$(2)

Si, dans l’expression

$\operatorname {Cos} .(a,d)={\frac {a^{2}+d^{2}-x^{2}}{2ad}},$

on met pour $x^{2}$ la valeur que nous venons d’obtenir, il viendra, toutes réductions faites,

$\operatorname {Cos} .(a,d)={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(bc+ad)}}\,;$

or, on a

$2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}(a,d)=1-\operatorname {Cos} .(a,d),\quad 2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}(a,d)=1+\operatorname {Cos} .(a,d)\,;$

donc, en substituant et divisant par $2,$

${\begin{array}{rll}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}(a,d)&={\cfrac {(b+c)^{2}-(a-d)^{2}}{4(bc+ad)}}&={\cfrac {(b+c+d-a)(a+b+c-d)}{4(bc+ad)}},\\\\\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}(a,d)&={\cfrac {(a+d)^{2}-(b-c)^{2}}{4(bc+ad)}}&={\cfrac {(a+c+d-b)(d+a+b-c)}{4(bc+ad)}},\,;\end{array}}$

mais on a d’ailleurs

$\operatorname {Sin} .(a,d)=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a,d)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a,d)\,;$

substituant donc et posant, pour abréger,