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INSCRIT.

sur l’expression connue du rayon du cercle circonscrit à un triangle en fonction de ses trois côtés.

La plupart des résultats auxquels nous venons de parvenir sont connus depuis long-temps. Si donc nous les reproduisons ici, c’est uniquement dans la vue d’en déduire et de leur comparer ceux qui vont faire présentement le sujet de nos recherches.

§. II. Quadrilatère sphérique.

Soient $a,b,c,d$ les côtés consécutifs d’un quadrilatère sphérique, inscrit à un cercle de la sphère ; soient $x,y$ les deux diagonales de ce quadrilatère ; la première étant celle qui se termine aux sommets des angles $(a,b),(c,d)\,;$ et la seconde celle qui se termine aux sommets des angles $(b,c),(a,d).$

Les cordes de ces quatre côtés et de ces deux diagonales, qui sont

$2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a,\ 2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b,\ 2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c,\ 2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d,\ 2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}x,\ 2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}y,$

sont les quatre côtés et les deux diagonales d’un quadrilatère rectiligne inscrit au même cercle ; d’où il suit qu’on pourra les substituer à la place de $a,b,c,d,x,y,$ respectivement, dans les formules (1) précédemment obtenues. On aura ainsi, toutes réductions faites,

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\tfrac {\left(\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d\right)\left(\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d\right)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d}},\\\\&\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}y={\tfrac {\left(\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d\right)\left(\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d\right)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}b+\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}d}}\,;\end{aligned}}\right\}$(I)

d’où ensuite