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FONCTIONS.

Si l’on avait un plus grand nombre de caractéristiques qui fussent pareillement commutatives deux à deux, on arriverait à leur égard, par des moyens analogues, à une conclusion semblable. Il en serait encore de même pour ces caractéristiques combinées avec un ou plusieurs facteurs constans, si ces caractéristiques étaient commutatives deux à deux, non seulement entre elles, mais encore avec chacun des facteurs constans.

Quelles que soient les caractéristiques $\Gamma ,\bigtriangledown ,$ l’on a identiquement

$\Gamma u=\Gamma \bigtriangledown \bigtriangledown ^{-1}u\,;$

si donc ces caractéristiques sont commutatives entre elles, on aura

$\Gamma u=\bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown ^{-1}u,$

d’où l’on conclura

$\bigtriangledown ^{-1}\Gamma u=\bigtriangledown ^{-1}\bigtriangledown \Gamma \bigtriangledown ^{-1}u\,;$

d’où l’on voit, en se rappelant ce qui a été observé ci-dessus, que ce n’est qu’avec des restrictions qu’on peut admettre l’équation

$\bigtriangledown ^{-1}\Gamma u=\Gamma \bigtriangledown ^{-1}u.$^[1]

Les mêmes considérations conduisent aussi à n’admettre qu’avec des restrictions l’équation

$\bigtriangledown ^{-1}\Gamma ^{-1}u=\Gamma ^{-1}\bigtriangledown ^{-1}u\,;$

lorsque les caractéristiques, $\bigtriangledown ,\Gamma$ sont commutatives entre elles.

1. Voyez, sur ce sujet, la précédente note ; nous n’ajoutons pas d’exemple, parce que nous rencontrerons plus loin un cas où cette équation ne saurait être admise.