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PARALLÉLISME DES LIGNES

même longueur, le lieu géométrique des extrémités supérieures de ces normales sera une autre courbe plane ou une autre surface courbe que, par analogie, on sera conduit à considérer comme parallèle à la courbe ou à la surface donnée ; et l’analogie conduira également à considérer la relation de parallélisme comme une des plus simples qui puisse exister entre deux courbes et deux surfaces courbes, puisque celle même relation est la plus simple que l’on puisse concevoir entre deux lignes droites ou deux plans.

Cependant la théorie du parallélisme des lignes et surfaces courbes a été jusqu’ici peu approfondie. On connaît les équations différentielles qui expriment le rapport mutuel des coordonnées d’une ligne courbe, parallèle à une autre courbe proposée ; et l’on peut trouver, à l’aide de ces équations, l’équation de la parallèle même, dans tous les cas. On a fait aussi des applications de ces équations générales à plusieurs courbes ; mais la théorie générale des courbes parallèles dans un plan et celle des surfaces parallèles, soit entre elles, soit à des lignes à double courbure, théorie qui doit embrasser le contact, l’osculation, la rectification, le calcul des aires, etc., reste encore à compléter.

Je viens de trouver quelques théorèmes relatifs à cette théorie, et qui m’ont paru remarquables par leur élégance et leur généralité absolue. Je me propose de les présenter brièvement ici, en abandonnant au lecteur le soin des développemens ultérieurs.

2.

Mais, avant d’entrer en matière, qu’il me soit permis de placer ici une observation.

On n’ignore pas que c’est le calcul différentiel ordinaire, le calcul aux différences partielles, leur système de signe et l’art de les appliquer à la géométrie, qui servent de base aux recherches de la nature de celles que j’ai en vue. Cependant, j’ai la ferme persuasion que l’application de ce calcul à la géométrie, d’après