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ÉQUATIONS

${\rm {O,A}}$ sont deux points fixes sur une droite indéfinie ; de l’un quelconque ${\rm {M}}$ des points de la courbe on a abaissé une perpendiculaire ${\rm {MP}}$ sur cette droite. On a ensuite porté, sur la même droite, à partir du point ${\rm {O,}}$ savoir ; à droite, une longueur ${\rm {OP'}}$ quatrième proportionnelle à ${\rm {OP,OA,AP,}}$ et à gauche une longueur ${\rm {OP''}}$ troisième proportionnelle à ${\rm {AP}}$ et ${\rm {OA.}}$ On a élevé ensuite à la droite indéfinie en ${\rm {P',P''}}$ des perpendiculaires terminées à la courbe en ${\rm {M',M''\,;}}$ et on demande que, quel que soit d’ailleurs le point ${\rm {M}}$ de la courbe, on ait toujours le rectangle construit sur ${\rm {OA}}$ et ${\rm {M'P',}}$ moins le rectangle construit sur ${\rm {OP}}$ et ${\rm {M''P'',}}$ égal au rectangle construit sur ${\rm {OA}}$ et ${\rm {OP.}}$

En prenant notre droite indéfinie pour axe des $x,$ le point ${\rm {O}}$ pour origine, les $x$ positives à droite de ce point, et représentant par $a$ la longueur constante ${\rm {OA,}}$ nous aurons ${\rm {OP}}=x,\ {\rm {AP}}=x-a,$ d’où nous conclurons

${\rm {OP'}}={\frac {a(x-a)}{x}},\qquad {\rm {OP}}''=-{\frac {a^{2}}{x-a}}\,;$

Si donc nous prenons généralement pour équation de la courbe cherchée

$y=\psi (x),$

nous aurons

${\rm {MP}}=\psi (x),\quad {\rm {M'P'}}=\psi \left[{\frac {a(x-a)}{x}}\right],\quad {\rm {M''P''}}=\psi \left[-{\frac {a^{2}}{x-a}}\right]\,;$

mais, par la condition du problème, on doit avoir

${\rm {OA.M'P'-OP.M''P''=OA.OP\,;}}$

donc

$a\psi \left[{\frac {a(x-a)}{x}}\right]-x\psi \left[-{\frac {a^{2}}{x-a}}\right]=ax.$

Voilà une de ces équations que M. Babbage appelle équations