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FONCTIONNELLES.

$\phi (x)={\frac {a(x-a)}{x}},$

on aura

$\phi \left[\phi (x)\right]=-{\frac {a^{2}}{x-a}},$

et

$\phi \left\{\phi \left[\phi (x)\right]\right\}=x\,;$

ces sortes de fonctions sont de la nature de celles que M. Babbage appelle fonctions périodiques ; et, pour suivre à peu près la marche qu’il a lui-même tracée, nous nous occuperons d’abord des fonctions de cette nature ; nous en ferons ensuite l’application à la résolution des équations fonctionnelles ; et nous terminerons enfin en donnant une idée de la manière d’étendre la méthode aux cas pour lesquels elle semble être en défaut.

§. I.

Des fonctions périodiques.

Tout signe de fonction, quel qu’il soit, est en même temps signe d’opération algébrique, simple ou composée, et l’indication de ces opérations est aussi la définition de la fonction dont il s’agit. Lorsque, par exemple, on pose

$\phi (x)=a+bt,$

on définit la fonction désignée par $t,$ puisqu’on explique que, pour obtenir une telle fonction d’une quantité, quelle qu’elle soit, il faut multiplier cette quantité par la constante $b$ et ajouter le produit à la constante $a\,;$ de sorte que, d’après cela, on aura, par exemple,