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ÉQUATIONS

même manière que nous l’avons fait pour le second ordre ; posant en effet,

$\operatorname {f} (x)={\frac {a+bx}{c+dx}},$

nous aurons successivement

$\operatorname {f} ^{2}(x)={\frac {a+b{\frac {a+bx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a+bx}{c+dx}}}}={\frac {a(b+c)+\left(ad+b^{2}\right)x}{\left(ad+c^{2}\right)+d(b+c)x}}$

$\operatorname {f} ^{3}(x)={\frac {a(b+c)+\left(ad+b^{2}\right){\frac {a+bx}{c+dx}}}{\left(ad+c^{2}\right)+d(b+c){\frac {a+bx}{c+dx}}}}$

$={\frac {a\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)+\left(2abd+acd+b^{3}\right)x}{\left(2acd+abd+c^{3}\right)+d\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)x}}\,;$

afin donc qu’on ait $\operatorname {f} ^{3}(x)=x,$ il faudra qu’on ait

${\begin{aligned}&a\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)=0,\\&d\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)=0,\\\end{aligned}}$

$2acd+abd+c^{3}=2abd+acd+b^{3}.$

la dernière de ces trois équations revenant à

$(b-c)\left(bc+ad+b^{2}+c^{2}\right)=0,$

il s’ensuit qu’elles seront toutes satisfaites en posant simplement

$bc+ad+b^{2}+c^{2}=0,\quad$d’où$\quad d=-{\frac {b^{2}+bc+c^{2}}{a}},$

ce qui donne, pour la fonction cherchée,

$\operatorname {f} (x)={\frac {a(a+bx)}{ac-\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)x}}.$