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PROBLÈME

$y+C={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {x}{a}}-{\frac {a}{x}}\right)\operatorname {d} x\,;$

c’est-à-dire,

$y+C={\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{2a}}-a\operatorname {Log} .x\right)\,;$

en se rappelant donc qu’a $y=0$ doit répondre $x=a,$ on aura

$C={\frac {1}{2}}\left({\frac {a^{2}}{2a}}-a\operatorname {Log} .a\right),$

d’où, en retranchant,

$4{\frac {y}{a}}=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\operatorname {Log} .\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1.$

Cette équation peut être écrite ainsi

$y+{\frac {a}{4}}={\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {a}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {x}{a}}\,;$

d’où l’on voit qu’en descendant l’origine sur l’axe des $y$ de la quantité ${\frac {a}{4}}$ l’équation de la courbe sera simplement

$y={\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {a}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {x}{a}}\,;\qquad$(20)

de sorte qu’en posant

$y'={\frac {x^{2}}{4a}},\qquad y''={\frac {a}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {x}{a}},\qquad$(21)

on aura

$y=y'-y''.$