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PROBLÈME

Enfin, l’expression générale (19) de la distance du chien à son maître devient, dans le cas actuel,

${\frac {1}{2}}a\left\{1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right\},$

quantité qui tend sans cesse à se réduire à ${\frac {1}{2}}a,$ à mesure que $x$ devient plus petit. Ainsi, non seulement le chien n’atteindra jamais son maître, mais il en sera toujours à une distance plus grande que la moitié de celle qui l’en séparerait au moment du départ. Il est facile de conclure de là que, si l’on développait la courbe décrite par le chien, en l’appliquant contre l’axe des $y,$ son extrémité tomberait à une distance ${\frac {1}{2}}a$ au-dessous du point de départ du maître.

Pour second cas particulier, supposons que la vitesse du maître soit double de celle de son chien, c’est-à-dire, supposons $n=2.$ Nous aurons d’abord (10)

$2{\frac {s}{a}}={\frac {1}{3}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{3}-1\right\}-\left\{{\frac {a}{x}}-1\right\}\,;$

ou encore

$2{\frac {s}{a}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {x}{a}}-1\right)\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {x}{a}}\right)+3\left({\frac {a}{x}}\right)+1\right\}.$

Nous aurons ensuite (11)

$r={\frac {a}{8}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {s}{2}}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{\frac {3}{2}}\right\},$

ou bien

$r={\frac {a}{8}}{\frac {\left\{1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{3}\right\}^{2}}{\frac {x}{a}}}.$