Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/383

371

DES SUITES.

THÉORÈME III.

Si $n$ est un nombre impair, la somme de la série infinie

$A_{1}a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u\operatorname {Sin} .v\ldots +A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u\operatorname {Sin} .2v\ldots$

$+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u\operatorname {Sin} .3v\ldots +\ldots$

a pour expression finie

$\pm {\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} '[s]-\Sigma \operatorname {F} '[s-2t]+\Sigma \operatorname {F} '\left[s-2(t+u)\right]-\Sigma \operatorname {F} '\left[s-2(t+u+v)\right]+\ldots \right\}\,;$

en observant, pour le signe et la limitation de cette série, ce a été dit (Lemme III).

Il nous suffira de démontrer le premier de ces deux théorèmes pour faire voir de quelle manière doivent se démontrer les deux qui le suivent.

Par le Lemme I, on a successivement

${\begin{array}{l}2^{n-1}\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u\operatorname {Cos} .v\ldots =\\\quad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .s+\Sigma \operatorname {Cos} .[s-2t]+\Sigma \operatorname {Cos} .\left[s-2(t+u)\right]+\ldots \\2^{n-1}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u\operatorname {Cos} .2v\ldots =\\\quad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .2s+\Sigma \operatorname {Cos} .2[s-2t]+\Sigma \operatorname {Cos} .2\left[s-2(t+u)\right]+\ldots \\2^{n-1}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u\operatorname {Cos} .3v\ldots =\\\quad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .3s+\Sigma \operatorname {Cos} .3[s-2t]+\Sigma \operatorname {Cos} .3\left[s-2(t+u)\right]+\ldots \end{array}}$

 

En prenant la somme des produits respectifs ds ces équations par $2A_{1}a,2A_{2}a^{2},2A_{3}a^{3},\ldots ,$ la somme des premiers membres sera la suite infinie proposée multipliée par $2^{n}\,;$ quant à la somme des seconds membres elle sera composée de cette suite de séries infinies que voici :