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SOMMATION

${\begin{aligned}&\qquad 2\left(A_{1}a\operatorname {Cos} .s+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2s+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3s+\ldots \right)\\&+2\Sigma \left\{A_{1}a\operatorname {Cos} .[s-2t]+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2[s-2t]+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3[s-2t]+\ldots \right\}\\&+2\Sigma \left\{A_{1}a\operatorname {Cos} .[s-2(t+u)]+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2[s-2(t+u)]\right.\\&\left.\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3[s-2(t+u)]+\ldots \right\}\end{aligned}}$

 

Or, d’après la définition de la fonction $\operatorname {F}$ et la Remarque I, la somme de la première série est ${\frac {\operatorname {F} (s)}{2}}$ et les sommes des autres séries, sous le signe $\Sigma ,$ sont successivement

${\frac {\operatorname {F} [s-2t]}{2}},\qquad {\frac {\operatorname {F} \left[s-2(t+u)\right]}{2}},\ldots$

en les ajoutant donc et divisant ensuite par $2^{n},$ on obtiendra la somme annoncée de la série proposée.

On démontrera les deux autres théorèmes, à l’aide des Lemmes II et III, comme nous avons démontré celui-là à l’aide du Lemme I.

10. En supposant, dans nos trois théorèmes, que les arcs $t,u,v,\ldots$ deviennent égaux entre eux et au premier, ce qui donne $s=nt,$ on en conclut les trois corollaires que voici :

Corollaire I.

Quel que soit le nombre entier positif $n,$ la somme de la série infinie

$A_{1}a\operatorname {Cos} .^{n}t+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .^{n}2t+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .^{n}3t+\ldots$

a pour expression finie

${\frac {1}{2^{n}}}\left\{\operatorname {F} [nt]+{\frac {n}{1}}\operatorname {F} [(n-2)t]+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {F} [(n-4)t]+\ldots \right\}\,;$

en observant les limitations prescrites (7, Corollaire I).