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${\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {2x-y}{\sqrt {6\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)}}},\quad {\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {2y-x}{\sqrt {6\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)}}}\,;$

et de là

${\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}=-{\frac {9xy}{\left\{6\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\right\}^{\frac {3}{2}}}},$

qui est en effet (9) et (16) le caractère auquel on reconnaît que les droites d’un faisceau sont normales à une même surface.

Si l’on veut présentement connaître à quelles surfaces les rayons réfléchis, donnés par les trois équations

$x+y+z=c,$

$X-x+{\frac {7x-2y}{z-c}}(Z-z)=0,\qquad Y-y+{\frac {7y-2x}{z-c}}(Z-z)=0$

sont normaux, il faudra opérer comme nous l’avons enseigné (8), et pour cela il faudra d’abord rendre les équations de ces rayons indépendantes de la base, ce qu’on fera (5) en posant d’abord les trois équations

$(z-c)(x-x')+(7x-2y)(z-z')=0,\ (z-c)(y-y')+(7y-2x)(z-z')=0,$

$x+y+z=c,$

desquelles on tirera

${\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{6}}.{\frac {5(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}\left\{(z'-c)+(4x'+y')\right\},\\\\y&=-{\frac {1}{6}}.{\frac {5(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}\left\{(z'-c)+(4y'+x')\right\},\\\\z-c&=+{\frac {1}{6}}.{\frac {5(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}\left\{2(z'-c)+5(x'+y')\right\}\,;\end{aligned}}$

de là