Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/187

${\begin{aligned}7x-2y&=-{\frac {1}{6}}.{\frac {5(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}\left\{5(z'-c)+(26x'-y')\right\},\\\\7y-2x&=-{\frac {1}{6}}.{\frac {5(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}\left\{5(z'-c)+(26y'-x')\right\}\,;\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}&P'=P={\frac {7x-2y}{z-c}}=-{\frac {5(z'-c)+(26x'-y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}},\\\\&Q'=Q={\frac {7y-2x}{z-c}}=-{\frac {5(z'-c)+(26y'-x')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}\,;\end{aligned}}$

de sorte que les équations du faisceau réfléchi, rendues indépendantes de sa base réfléchissante, sont

${\begin{aligned}&X-x-{\frac {5(z'-c)+(26x'-y')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}(Z-z)=0,\\\\&Y-y-{\frac {5(z'-c)+(26y'-x')}{2(z'-c)+5(x'+y')}}(Z-z)=0.\end{aligned}}$

En conséquence, l’équation différentielle des surfaces auxquelles tous ces rayons sont normaux sera (8), en supprimant les accents désormais superflus et chassant les dénominateurs,

$\left\{5(z-c)+(26x-y)\right\}\operatorname {d} x+\left\{5(z-c)+(26y-x)\right\}\operatorname {d} y+\left\{2(z-c)+5(x+y)\right\}\operatorname {d} z=0.$

En l’écrivant ainsi

$\left\{(z-c)+5x\right\}(\operatorname {d} z+5\operatorname {d} x)+\left\{(z-c)+5y\right\}(\operatorname {d} z+5\operatorname {d} y)+(x-y)(\operatorname {d} x-\operatorname {d} y)=0,$

elle devient, en multipliant par 2,

$\operatorname {d} .\left\{(z-c)+5x\right\}^{2}+\operatorname {d} .\left\{(z-c)+5y\right\}^{2}+\operatorname {d} .(x-y)^{2}=0\,;$

d’où, en intégrant