30. En général, des rayons lumineux incidens, normaux, à une surface donnée (s′), se réfléchissant ou se réfractant à la rencontre d’une seconde surface donnée (s) ; si l’on veut savoir à quelle surface inconnue (s″) les rayons réfléchis ou réfractés seront normaux, il faudra d’abord (5) amener le faisceau incident à avoir pour base la surface réfléchissante ou séparatrice ; conclure ensuite les valeurs de et dans les équations du faisceau réfléchi ou réfracté de celles de et dans les équations du faisceau incident, à l’aide des formules rendre enfin ces valeurs de et (5) indépendantes de toute base ; et alors l’équation différentielle de la surface cherchée (s″) sera
Si les rayons réfléchis ou réfractés, devenus ainsi normaux à cette dernière surface, devaient subir une seconde réflexion ou une seconde réfraction ; par l’application du même procédé on déterminerait la surface à laquelle ils devraient devenir normaux après l’avoir subi ; on pourrait en faire de même à l’égard d’une troisième réflexion ou réfraction, d’une quatrième, et ainsi indéfiniment ; de sorte qu’au moyen de ce qui précède nous sommes en état de résoudre ce problème général : étant données une suite de surfaces réfléchissantes et séparatrices de divers milieux,
admise que, d’après le beau théorème découvert par M. Dupin lui-même, il s’ensuivrait que des rayons de lumière à qui l’on fait successivement subir un nombre quelconque de réflexions, à la rencontre de surfaces quelconques, demeureraient constamment normaux à la même surface, et conserveraient conséquemment, dans tout leur cours, la même surface caustique. Au surplus, ce qu’il nous reste à dire sur ce sujet montrera mieux encore combien il s’en faut qu’on puisse admettre cette assertion de M. Dupin qui heureusement n’a aucune influence sur le reste de son beau travail.
