Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/222

ne coupe le grand axe de l’ellipse qu’à ses extrémités, où elle est tangente à cette courbe.

On peut remarquer, au surplus que, quelle que puisse être la valeur de $b^{2}-c^{2},$ toujours à la valeur $z=\infty$ répondront les valeurs $x=\pm a,y=0,$$p=\infty \,;$ ainsi, dans tous les cas, la courbe touche l’ellipse à ses quatre sommets.

Si $b^{2}-c^{2}$ est positif, il arrivera, comme dans le cas où cette quantité est nulle, que $y$ ne pourra être nulle qu’autant que $z$ sera infini. Mais si l’on a $c^{2}>b^{2},$ on pourra écrire

$y^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}.{\frac {\left\{\left(c^{2}-b^{2}\right)z-a^{2}c^{2}\right\}^{2}}{z^{3}}},$

et dès-lors on pourra rendre $y$ nulle en posant

$z={\frac {a^{2}-c^{2}}{c^{2}-b^{2}}},$

il en résultera

$x=\pm {\frac {2bc}{a}},\qquad p=\pm {\frac {a}{\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}.$

Ainsi, passé le degré d’allongement pour lequel on a $c^{2}=b^{2}$ ou $a^{2}=2b^{2},$ la courbe cherchée coupe encore le grand axe de l’ellipse en deux autres points, lesquels sont des points doubles, puisqu’on y trouve deux valeurs pour $p\,;$ et comme ces deux valeurs sont égales et de signes contraires, il s’ensuit que les branches de courbe qui se coupent en ces points font un angle curviligne que l’axe des $x$ partage en deux parties égales.

On voit aisément que moins $a$ sera grand par rapport à $b$ et plus ces points doubles seront éloignés du centre de l’ellipse. Cependant ils ne lui seront jamais extérieurs ; car, si l’on pouvait avoir ${\frac {2bc}{a}}>a,$ on en conclurait, en chassant le dénominateur et quarrant,

$4b^{2}c^{2}>a^{4}\quad$ou$\quad 4b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)>a^{4},$

c’est-à-dire,