Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/249

${\begin{aligned}\Delta _{1}&=\Delta +{\frac {h}{1}}\operatorname {d} '\Delta +{\frac {h^{2}}{1.2}}\operatorname {d} '^{2}\Delta +\ldots ,\\\\x_{1}&=x+{\frac {h}{1}}\operatorname {d} 'x+{\frac {h^{2}}{1.2}}\operatorname {d} '^{2}x+\ldots ,\\\\y_{1}&=y+{\frac {h}{1}}\operatorname {d} 'y+{\frac {h^{2}}{1.2}}\operatorname {d} '^{2}y+\ldots ,\\\\z_{1}&=z+{\frac {h}{1}}\operatorname {d} 'z+{\frac {h^{2}}{1.2}}\operatorname {d} '^{2}z+\ldots \,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et ordonnant le résultat suivant les puissances de $h,$ nous trouverons

$\Delta +{\frac {h}{1}}\left\{\operatorname {d} '\Delta +\Delta \left({\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} z}}\right)\right\}+{\frac {h^{2}}{1.2}}\left\{\ldots \right\}+\ldots =\Delta .$

Cette équation devant avoir identiquement lieu quelle que soit la valeur de $h,$ nous en conclurons

$0=\operatorname {d} '\Delta +\Delta \left({\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} z}}\right).\qquad$(5)

Les coefficiens des puissances supérieures de $h$ nous donneraient bien une infinité d’autres équations ; mais elles ne seraient que les différentielles successives de l’équation (5), par rapport à la caractéristique $\operatorname {d} ',$ et conséquemment ne signifieraient rien de plus que cette équation, qu’on peut encore mettre sous la forme

$0={\frac {\operatorname {d} \Delta }{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} .\Delta \operatorname {d} 'x}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} .\Delta \operatorname {d} 'y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} .\Delta \operatorname {d} 'z}{\operatorname {d} z}},\qquad$(6)

en observant que