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$\mathrm {AA',BB',CC'}$, d’une même longueur quelconque. En joignant $\mathrm {A'B'}$ et $\mathrm {B'C'} ,$ nous obtiendrons les deux quadrilatères évidemment égaux $\mathrm {AA'B'B}$ et $\mathrm {BB'C'C} ,$ dans lesquels les quatre angles $\mathrm {AA'B',BB'A',BB'C',CC'B'} ,$ seront aussi évidemment égaux entre eux, et devront être tous quatre droits, aigus ou obtus.

Admettons d’abord que ces quatre angles soient obtus. Alors en prolongeant indéfiniment les droites $\mathrm {AA',BB',CC'} ,$ au-delà de $\mathrm {A',B',C'} ,$ vers $\mathrm {A'',B'',C''} ,$ les angles $\mathrm {A'B'B''}$ et $\mathrm {C'B'B''} ,$ comme supplémens de deux angles obtus et égaux entre eux, seront aigus et aussi égaux entre eux, d’où il suit que l’angle total $\mathrm {A'B'C'} ,$ moindre que deux angles droits, sera divisé en deux parties égales par la droite $\mathrm {B'B''} ,$ laquelle conséquemment devra contenir le centre $\mathrm {O}$ du cercle circonscrit au triangle isocèle dont les deux côtés égaux seraient $\mathrm {B'A'}$ et $\mathrm {B'C'} .$ Mais si, de ce centre, désigné par $\mathrm {O} ,$ on mène des rayons aux points $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {C'} ,$ les triangles $\mathrm {B'OA'}$ et$\mathrm {B'OC'}$ devront être isocèles ; d’où il suit que les angles $\mathrm {OA'B'}$ et $\mathrm {B'OC'}$ devront être respectivement égaux aux angles $\mathrm {OB'A'}$ et $\mathrm {OB'C'} ,$ c’est-à-dire aux angles $\mathrm {B''B'A'}$ et $\mathrm {B''B'C'} \,;$ mais les angles $\mathrm {A''A'B'}$ et $\mathrm {C''C'B'}$ doivent aussi être égaux aux angles $\mathrm {B''B'A',B''B'C'} \,;$ donc les droites $\mathrm {OA'}$ et $\mathrm {OC'}$ doivent se confondre avec les droites $\mathrm {A''A'}$ et $\mathrm {C''C'} ,$ ce qui revient à dire que les droites $\mathrm {AA'',BB'',CC''}$ doivent toutes