Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/292

${\begin{aligned}&Triang.\mathrm {Q'PQ''} ={\frac {ab'-ba'}{2c^{2}c'^{2}c''^{2}}}\left(a'^{2}+b'^{2}\right)(ay-bx)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{(b-b')x-(a-a')y+(ab'-ba')\right\},\\&Triang.\mathrm {Q''PQ} ={\frac {ab'-ba'}{2c^{2}c'^{2}c''^{2}}}\left(a^{2}+b^{2}\right)(b'x-a'y)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{(b-b')x-(a-a')y+(ab'-ba')\right\},\\&Triang.\mathrm {QPQ'} ={\frac {ab'-ba'}{2c^{2}c'^{2}c''^{2}}}\left\{(a-a')^{2}+(b-b')^{2}\right\}(ay-bx)(b'x-a'y).\end{aligned}}$

En prenant la somme de ces résultats, on obtiendra l’aire du triangle $\mathrm {QQ'Q''}$ dont il s’agit, qu’on trouvera être, en développant, réduisant et ordonnant,

$Triang.\mathrm {QQ'Q''} =-{\frac {(ab'-ba')^{2}}{2c^{2}c'^{2}c''^{2}}}$

$\left\{(ab'-ba')x^{2}+(ab'-ba')y^{2}-\left(b'c'^{2}-bc^{2}\right)x-\left(ac^{2}-a'c'^{2}\right)y\right\}.$

Cette aire peut être positive ou négative, suivant la situation du point $\mathrm {P} \,;$ mais son signe n’étant ici d’aucune considération, il suffira, pour que ce point $\mathrm {P}$ résolve le problème, que, prise en plus ou en moins, elle soit équivalente à un quarré donné $k^{2}\,;$ ou, ce qui revient au même, il suffira que, prise telle qu’elle est, elle soit égale à $\pm k^{2},$ ce qui établira entre $x$ et $y$ la double équation

$(ab'-ba')^{2}\left\{(ab'-ba')x^{2}+(ab'-ba')y^{2}-\left(b'c'^{2}-bc^{2}\right)x-\left(ac^{2}-a'c'^{2}\right)y\right\}$

$\pm 2c^{2}c'^{2}c''^{2}k^{2}=0\,;$

équation commune à deux cercles concentriques.

En posant

$b'c'^{2}-bc^{2}=2(ab'-ba')\alpha ,\qquad ac^{2}-a'c'^{2}=2(ab'-ba')\beta ,$

d’où

$\alpha ={\frac {b'c'^{2}-bc^{2}}{2(ab'-ba')}},\qquad \beta ={\frac {ac^{2}-a'c'^{2}}{2(ab'-ba')}},$

cette équation deviendra