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$\left(x-{\frac {r\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .\gamma }}\right)+\left(y-{\frac {r\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\gamma }}\right)+2\left(x-{\frac {r\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .\gamma }}\right)\left(y-{\frac {r\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\gamma }}\right)\operatorname {Cos} .\gamma$

$=r^{2}-{\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }}\,;$

les coordonnées du centre de ce cercle sont donc

${\frac {r\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .\gamma }},\qquad {\frac {r\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\gamma }},$

longueurs indépendantes de $k\,;$ ce qui nous montre que, pour les diverses valeurs de $k,$ la circonférence, lieu des points $\mathrm {P} ,$ ne varie que de rayon et conserve toujours le même centre.

Mais, lorsqu’on suppose $k=0,$ l’équation, sous sa première forme, perd son terme tout connu ; elle exprime donc alors un cercle passant par l’origine, c’est-à-dire, par un quelconque des sommets du triangle donné, et par conséquent par ses trois sommets. Ainsi le lieu de tous les points, est alors le cercle circonscrit au triangle donné lui-même ; puis donc que les lieux du point $\mathrm {P}$ répondant aux diverses valeurs de $k$ sont des cercles concentriques, ils ont tous pour centre commun le centre du cercle circonscrit au triangle donné. On voit de plus que le lien des points $\mathrm {P}$ est ce cercle lui-même, lorsque $k=0.$

Si présentement nous nous rappelons que $k^{2}$ peut être pris indistinctement en plus ou en moins, nous en conclurons qu’en représentant par $R$ le rayon du cercle qui, pour une certaine valeur de $k,$ résout le problème, on doit avoir

$R={\sqrt {r^{2}\pm {\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }}}}\,;$