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l’intégrale d’une équation différentielle, dans laquelle on suppose que $\alpha$ et $\beta$ sont des fonctions d’une même constante $c\,;$ pour avoir la solution particulière de son équation différentielle, il faudra, comme l’on sait, éliminer la constante $c$ entre cette équation et sa dérivée par rapport à cette lettre ; mais, en représentant par $P_{1}$ et $Q_{1}$ les dérivées de son premier membre, prises par rapport à $x-\alpha ,\ y+\beta ,$ considérés comme deux variables la dérivée dont il s’agit sera

$P_{1}\operatorname {d} \alpha +Q_{1}\operatorname {d} \beta =0.$

Si, au contraire, on différence la proposée par rapport à $x$ et $y$ on aura

$P_{1}\operatorname {d} x+Q_{1}\operatorname {d} sy=0\,;$

d’où il suit que la différentielle de sa solution particulière sera le résultat de l’élimination de $c$ entre ces deux dernières. Or, on a vu par le problème précédent que cette différentielle était

$\operatorname {F} \left\{x-\varphi (p),y-\psi (p)\right\}=0.$

avec la condition

$\psi '(p')=p\varphi '(p)\,;$

or, en différentiant de nouveau l’équation différentielle obtenue, on parvient, comme nous l’avons déjà vu, à un résultat de la forme

$P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y-\left\{P\varphi '(p)+Q\psi '(p)\right\}\operatorname {d} p=0\,;$

or, si l’on substitue, dans cette dernière équation, pour $\psi '(p)$ sa valeur $p\varphi '(p),$ et pour $\operatorname {d} y$ sa valeur $p\operatorname {d} x,$ on obtiendra