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${\frac {p.q^{n-1}+{\frac {n-2}{1}}.p^{2}.q^{n-3}+{\frac {n-3}{1}}.{\frac {n-4}{2}}.p^{3}.q^{n-5}+{\frac {n-4}{1}}.{\frac {n-5}{2}}.{\frac {n-6}{3}}.p^{4}.q^{n-7}+\ldots }{q^{n}+{\frac {n-1}{1}}.p.q^{n-2}+{\frac {n-2}{1}}.{\frac {n-3}{2}}.p^{2}.q^{n-4}+{\frac {n-3}{1}}.{\frac {n-4}{2}}.{\frac {n-5}{3}}.p^{3}.q^{n-6}+\ldots }}$

et que sa différence avec la suivante ou la limite de l’erreur qui l’affecte est

${\frac {p}{q}}.{\frac {p^{n}}{\left(q^{n}+{\frac {n-1}{1}}.p.q^{n-2}+{\frac {n-2}{1}}.{\frac {n-3}{2}}.p^{2}.q^{n-4}+\ldots \right)\left(q^{n}+{\frac {n}{1}}.p.q^{n-2}+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.p^{2}.q^{n-4}+\ldots \right)}}.$

Mais, toute équation du second degré dont les deux racines sont réelles ne saurait être mise immédiatement sous la forme

$x^{2}+qx-p=0,$

de manière du moins que les deux nombres $p$ et $q$ soient entiers positifs très-grands, et le dernier beaucoup plus grand que l’autre ; et conséquemment une de ses racines ne saurait être mise immédiatement sous la forme

$x={\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}$

avec les mêmes conditions. Voyons donc ce qu’il y aura à faire, lorsque l’équation sera quelconque.

Pour plus de généralité, admettons un coefficient au premier terme ; et soit la proposée

$Ax^{2}+Bx+C=0,$