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$\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}+2p-{\frac {p^{2}}{q^{2}+2p-{\frac {p^{2}}{q^{2}+2p-\ldots }}}}}}$

S’il s’agit du cube de la même fraction continue, en le représentant par $y,$ on aura à éliminer $x$ entre les deux équations

$x^{2}+qx=p,\qquad x^{3}=y\,;$

cela donnera

$y^{2}+\left(q^{3}+3pq\right)y=p^{3}\,;$

d’où

$y={\frac {p^{3}}{\left(q^{3}+3pq\right)+y}}$

de sorte qu’on aura

$\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}^{3}={\frac {p^{3}}{q^{3}+3pq+{\frac {p^{3}}{q^{3}+3pq+{\frac {p^{3}}{q^{3}+3pq+\ldots }}}}}}$

En procédant d’une manière analogue pour les puissances supérieures, on trouvera successivement

$\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}^{4}={\frac {p^{4}}{q^{4}+4pq^{2}+2p^{2}-{\frac {p^{4}}{q^{4}+4pq^{2}+2p^{2}-\ldots }}}}$

$\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}^{5}={\frac {p^{5}}{q^{5}+5pq^{3}+5p^{2}q+{\frac {p^{5}}{q^{5}+5pq^{3}+5p^{2}q+\ldots }}}}$

$\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}^{6}={\frac {p^{6}}{q^{6}+6pq^{4}+9p^{2}q^{2}+2p^{3}-{\frac {p^{6}}{q^{6}+6pq^{4}+9p^{2}q^{2}+2p^{3}-\ldots }}}}$

et, en général,