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Mais si dans l’équation (3) on change $q$ en $p,$ elle devient

$p.\varphi (t)=\varphi (pt),$

puis, en changeant $t$ en ${\frac {1}{q}}t,$

$p.\varphi ({\frac {1}{q}}t)=\varphi ({\frac {p}{q}}t)\,;\qquad$(5)

donc, en comparant (4) et (5),

${\frac {p}{q}}\varphi (t)=\varphi ({\frac {p}{q}}t)\,;\qquad$(6)

et, comme les nombres entiers positifs $p,q$ peuvent être pris aussi grands qu’on voudra, il en résulte que l’équation (3) doit avoir lieu, lors même que $q$ est incommensurable. Il ne serait pas difficile de prouver qu’elle doit avoir lieu également lorsque $q$ est négatif.

Si présentement on pose ${\frac {p}{q}}t=u,$ d’où ${\frac {p}{q}}={\frac {u}{t}},$ l’équation (6) deviendra

${\frac {u}{t}}\varphi (t)=\varphi (u)$

ou bien

${\frac {\varphi (t)}{t}}={\frac {\varphi (u)}{u}}$

et comme $t$ et $u$ sont supposés deux variables indépendantes, qui ne sauraient généralement être égales entre elles, on doit en conclure

${\frac {\varphi (t)}{t}}=A,\quad$d’où$\quad \varphi (t)=At.$

$A$ étant une constante.