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Ce résultat se vérifie d’ailleurs facilement ; il donne en effet

$\varphi (t)=At,\qquad \varphi (u)=Au$

d’où, en ajoutant,

$\varphi (t)+\varphi (u)=At+Au=A(t+u)=\varphi (t+u)\,;$

comme le veut l’équation proposée.

II. Si, dans l’équation

$\varphi (t)+\varphi (u)=\varphi (tu),\qquad$(1)

on change $u$ en $uv,$ puis $v$ en $vx,$ et ainsi de suite ; en développant successivement $\varphi (uv),\varphi (vx),\ldots$ au moyen de cette même équation, on trouvera généralement

$\varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)+\ldots =\varphi (tuv\ldots ).$(2)

Supposant ensuite que les variables $t,u,v,\ldots$ toutes égales entre elles, sont au nombre de $q,$ on aura

$q.\varphi (t)=\varphi (t^{q})\,;\qquad$(3)

et l’on aurait pareillement

$q.\varphi (u)=\varphi (u^{q}).$

Faisant, dans cette dernière équation, $u^{q}=t,$ d’où $u=t^{\frac {1}{q}},$ elle deviendra

$q.\varphi \left(t^{\frac {1}{q}}\right)=\varphi (t),$

et par suite

$\varphi \left(t^{\frac {1}{q}}\right)={\frac {1}{q}}\varphi (t)\,;$

puis, en multipliant les deux membres par $p$,