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$(y-x)^{2}={\frac {(1+p)^{2}}{1+p^{2}}},$

on la différentiera par rapport à $x$ et $y,$ ce qui donnera

$(y-x)(\operatorname {d} y-\operatorname {d} x)=0,$

puis, en remplaçant ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ par $p,$

$(y-x)(p-1)=0,$

d’où $p=1.$ Substituant ensuite cette valeur dans l’équation proposée, on trouvera

$y=x\pm {\sqrt {2}},$

comme nous avons vu ci-dessus qu’on devait le trouver.

La méthode que nous venons d’exposer est propre à faire trouver toutes les solutions particulières ; mais elle peut aussi conduire à des équations étrangères ; car, en exprimant qu’une transversale est tangente à l’une des courbes représentées par l’équation intégrale $\varphi =0,$ on n’a pas exprimé que le point de contact était commun à deux courbes consécutives ; on peut donc obtenir des lignes qui ne soient point enveloppes, et entre autres on obtiendra toutes les intégrales dans lesquelles $x$ et $y$ ne passent pas le premier degré, puisque ces équations représentent des droites, et qu’une droite se confond avec sa transversale dans toute son étendue.

Mais généralement les équations étrangères introduites dans le résultat final par la seconde méthode seront différentes de celles qu’introduit la première ; de sorte qu’il deviendra extrêmement probable qu’une équation donnée par l’une et par l’autre répondra à une véritable solution particulière de l’équation différentielle proposée. Voici donc très-probablement le procédé qu’il faut suivre pour n’obtenir que de telles solutions :