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Si l’on substitue les valeurs de $X,Y,Z$ dans les équations (2), on reconnaît qu’elles admettent une intégrale de la forme

$z=ax+by.$

En effet, en mettant cette valeur de $z$ dans la dernière de ces trois équations, elle se trouvera, en vertu des deux premières, satisfaite indépendamment des constantes arbitraires $a$ et $b.$ On voit donc que le fil en équilibre est tout entier dans le plan conduit par ses deux extrémités fixes et par le centre d’où émanent les forces, ce qu’il était d’ailleurs facile de prévoir, puisque tout est égal de part et d’autre de ce plan. En exprimant que le plan dont il s’agit contient les deux extrémités fixes, on déterminera les deux constantes $a$ et $b.$

Pour simplifier nos formules, faisons coïncider ce plan avec celui des $xy,$ en posant $z=0,$ d’où $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ et $\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=r^{2}.$ Laissant donc de côté la troisième des équations (2) et éliminant $\operatorname {d} T$ entre les deux autres, nous aurons

$T\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\right)=X\operatorname {d} y-Y\operatorname {d} x.\qquad$(5)

Pour intégrer cette équation, nous passerons aux coordonnées polaires, en posant

$x=r\operatorname {Cos} .u,\qquad y=r\operatorname {Sin} .u\,;$

d’où résultera

$x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x=r^{2}\operatorname {d} u,$

et par suite

$X\operatorname {d} y-Y\operatorname {d} x={\frac {R(x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x)}{r}}=Rr\operatorname {d} u.$

Posons encore