Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/65

${\frac {..}{..}}\mathrm {R} -r:\mathrm {D:R} +3r.$

Le résultat auquel nous venons de parvenir, et qui n’était point connu jusqu’ici, avait été demandé dans les Annales de mathématiques (tom. VI, pag. 228).

THÉORÈME XXII. Le sinus de l’arc de grand cercle qui joint les pôles de deux cercles, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un même triangle sphérique, est moyen proportionnel entre la demi-somme des sinus de la somme et de la différence des rayons sphériques de ces deux cercles et la moitié de l’excès du triple du sinus de la différence de ces deux rayons sur le sinus de leur somme^[1].

Démonstration. Il est d’abord très-facile de s’assurer que l’arc de grand cercle qui divise l’un quelconque des angles d’un triangle sphérique en deux parties égales partage le côté opposé en deux segmens dont les sinus sout proportionnels aux sinus des côtés correspondais.

Cette proposition admise, supposons que tout soit (fig. 4) comme dans la démonstration du Théorème XX, si ce n’est que nous supposerons ici la figure tracée sur la surface d’une sphère ; de manière que tout ce qui était alors lignes droites devienne arcs de grands cercles ; nous aurons ici, en quarrant,

$\mathrm {\operatorname {Sin} .^{2}AS:\operatorname {Sin} .^{2}AH::\operatorname {Sin} .^{2}OS:\operatorname {Sin} .^{2}OH} ,$

Or,

1. Nous entendons ici par rayon sphérique d’un cercle de la sphère l’arc de grand cercle qui joint son pôle à un point quelconque de sa circonférence.