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le cas où l’équation ${\frac {1}{\varphi (x)}}=0$ a des racines égales. Si l’on différentie ces mêmes formules par rapport aux quantités $a,b,r,\ldots$ on obtiendra de nouveaux résultats, que l’on pourrait déduire directement de la formule (3). Ainsi, par exemple, si l’on différentie $n$ fois par rapport à la quantité $a$, l’équation (46), on en déduira la valeur de l’intégrale

(58)$\int _{-\infty }^{+\infty }x^{a-1}(x)\left[\operatorname {l} (x)\right]^{n}\operatorname {d} x,$

à laquelle on parviendrait aussi, en posant successivement, dans l’équation (3)

${\begin{aligned}&f(x)=\left(-x{\sqrt {-1}}\right)^{a-1}\operatorname {l} \left(-x{\sqrt {-1}}\right).\varphi (x),\\&f(x)=\left(-x{\sqrt {-1}}\right)^{a-1}\left[\operatorname {l} \left(-x{\sqrt {-1}}\right)\right]^{2}.\varphi (x),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On obtiendrait encore plusieurs résultats dignes de remarque, en intégrant quelques formules par rapport aux constantes $a,b,r,\ldots$.

Il importe d’observer que les formules (29), (34), (35), (36) et (39) subsistent, dans le cas même où l’on remplace l’exposant réel $a$ par une constante imaginaire $\lambda +\mu {\sqrt {-1}}.$ En opérant ainsi, prenant pour $\varphi (x)$ une fonction réelle et posant successivement

$a=\lambda +\mu {\sqrt {-1}},\qquad a=\lambda -\mu {\sqrt {-1}},$

on établira de nouvelles équations que l’on pourrait combiner entre elles, et l’on reconnaîtra facilement, par ce moyen, que les formules (46), (57), … s’étendent à des valeurs réelles ou imaginaires quelconques de la constante $a$. Si l’on décompose ensuite chaque équation imaginaire en deux équations réelles, on obtien-