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tion (1), on en obtiendra l’équation en éliminant $t,u$ et le rapport de $\operatorname {d} t$ à $\operatorname {d} u$ entre les équations (1), (2) et leurs différentielles, prises par rapport à ces deux paramètres seulement. Or ces différentielles sont

$t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u=0,$

$\left.{\begin{aligned}&\left\{x(au-bt)-b\left(tx+uy-r^{2}\right)+a(ux-ty)-y\left(at+bu-r^{2}\right)\right\}\operatorname {d} t\\\\+&\left\{y(au-bt)+a\left(tx+uy-r^{2}\right)+b(ux-ty)+x\left(at+bu-r^{2}\right)\right\}\operatorname {d} u\end{aligned}}\right\}=0\,;$

ce qui donne, en éliminant,

$(at+bu)\left(tx+uy-r^{2}\right)+(tx+uy)\left(at+bu-r^{2}\right)=2(au-bt)(ux-ty)\,;$(3)

de sorte que le problème se réduit présentement à éliminer $t$ et $u$ entre les équations (1), (2), (3). Dans ces équations $a$ et $b$ figurent de la même manière que $x$ et $y$, et c’est là une chose qu’on pouvait fort bien prévoir à l’avance, puisque les rayons incident et réfléchi peuvent être pris l’un pour l’autre.

Pour des valeurs données de $t$ et $u$, c’est-à-dire, pour un point d’incidence donné, les équations (2), (3) doivent être satisfaites par le point correspondant de la caustique ; or l’équation (2) est celle du rayon réfléchi, et l’équation (3) est celle d’une autre droite ; c’est donc l’équation d’une droite qui coupe le rayon réfléchi à son point de contact avec la caustique cherchée. Nous ne nous occuperons pas de la construction générale de cette droite, qui serait d’ailleurs susceptible d’une certaine élégance.

Nous remarquerons seulement que, si le rayon incident était tangent au cercle, le point d’incidence serait donné par l’équation (1) combinée avec l’équation $at+bu=r^{2}$ au moyen de laquelle les équations (2), (3) se réduisant à $tx+uy=r^{2},ux-ty=0$ qui sont les équations de la tangente et de la normale en ce point, qui serait lui-même conséquemment le point correspondant de la