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${\frac {2x''y''}{x''^{2}-y''^{2}}}={\frac {y-y''}{x-x''}},$

ou bien

$2x''y''(x-x'')=(y-y'')\left(x''^{2}-y''^{2}\right)\,;\qquad$(16)

de sorte que l’élimination de $x''$ et $y'',$ entre les équations (14), (15), (16), conduira à l’équation de l’épicycloïde cherchée.

Des équations (15) et (16) on tire facilement, en ayant égard à l’équation (14)

$x''-x={\frac {x''^{2}-y''^{2}}{4a}},\qquad y''-y={\frac {2x''y''}{4a}}$

ou encore, en employant toujours l’équation (14)

${\begin{array}{rlr}2a(x-a)&=x''(2a-x''),&(17)\\2ay&=y''(2a-x''),&(18)\end{array}}$

d’où on conclura, par division,

${\frac {y}{x-a}}={\frac {y''}{x''}}\,;\qquad$(19)

ce qui veut dire que la droite menée du point $(x=+a,y=0)$ au point décrivant, est constamment parallèle à celle qui va de l’origine au centre du cercle mobile. Cette propriété, analogue à celle qu’exprimait l’équation (6), peut déjà nous faire pressentir à quel résultat nous allons être conduits.

En éliminant $y''$ entre les équations (14) et (19), on trouve

$x''={\frac {(x-a)}{\sqrt {y^{2}+(x-a)^{2}}}},$

valeur qui, substituée dans l’équation (17), donne pour l’équation de l’épicycloïde demandée