les sommets opposés ; donc ces trois diagonales doivent concourir en un même point ; donc ce second hexagone est inscriptible à une ligne du second ordre ; donc quand deux hexagones sont polaires réciproques l’un de l’autre, si l’un d’eux est inscriptible à une ligne du second ordre, l’autre est nécessairement circonscriptible à une ligne du même ordre ; et réciproquement.
De là, en faisant varier simultanément le sixième sommet du premier hexagone sur la courbe à laquelle il est inscrit et le sixième côté du second, de telle sorte que ce sommet en reste toujours le pôle, on conclut généralement que, si un polygone quelconque tracé sur le plan d’une ligne du second ordre, prise pour directrice, est inscriptible à une autre ligne du même ordre, son polaire réciproque sera circonscriptible à une troisième ligne de cet ordre et réciproquement. Il en résulte encore ce théorème : Si un point, pris arbitrairement sur le plan d’une ligne du second ordre, se meut en parcourant une deuxième ligne du même ordre, sa polaire enveloppera, dans son mouvement, une troisième ligne de cet ordre ; et réciproquement, si une droite, tracée arbitrairement sur le plan d’une ligne du second ordre, se meut en enveloppant une deuxième ligne du même ordre, son pôle parcourra, dans son mouvement, une troisième ligne de cet ordre.
Il est à remarquer que la relation qui a lieu entre la courbe parcourue par le pôle et celle qu’enveloppe sa polaire est réciproque entre ces deux courbes ; c’est-à-dire que, si en un point quelconque de la ligne du second ordre parcourue par le pôle, on lui mène une tangente, la polaire de ce point touchera la courbe enveloppée par les polaires en un point qui sera le pôle de cette tangente ; de sorte que chacune des deux courbes dont il s’agit peut être considérée, à la fois, comme le lieu des pôles des tangentes de l’autre et comme l’enveloppe des polaires de tous les points de cette même courbe ; ce qui justifie complètement la dénomination de polaires réciproques qu’elles ont reçue. En effet, soient deux points
