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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Quand $\alpha =1,$ les quantités $\eta _{1},\eta _{2},\eta _{3},$ deviennent nulles, avec les accroissemens $g-\alpha g,h-\alpha h,k-\alpha k,\ldots$ et l’on a

${\frac {U-u'}{1-\alpha }}=\left\{{\begin{aligned}&g\operatorname {f} '_{x}(x+g,y+h,z+k,\ldots )\\+&h\operatorname {f} '_{y}(x+g,y+h,z+k,\ldots )\\+&k\operatorname {f} '_{z}(x+g,y+h,z+k,\ldots )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

qui, d’après le théorème cité, ne peut être, en général, ni nulle ni infinie. Ainsi la quantité

${\frac {U-u'}{1-\alpha }}$

est unp fonction de $\alpha$ qui ne devient ni $0$ ni $\infty$ quand elle se présente sous la forme ${\frac {0}{0}}.$ En la désignant par $P,$ nous aurons

${\frac {U-u'}{1-\alpha }}=P,\quad$ou$\quad U=u'+(1-\alpha )P\,;$

$U$ conservant la même valeur quelle que soit celle qu’on donne à $\alpha$ et $u',$ et $P$ variant avec $\alpha$.

En différentiant successivement par rapport à $\alpha$, on obtient cette suite d’équations

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} u'}{\operatorname {d} \alpha }}+(1-\alpha ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} \alpha }}-P=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}+(1-\alpha ){\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} \alpha }}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{3}u'}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}}+(1-\alpha ){\frac {\operatorname {d} ^{3}P}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}}-3{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}=0,\end{aligned}}$