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$\operatorname {d} s=\operatorname {d} x{\sqrt {1+p^{2}}}$

ou en mettant pour \operatorname{d}x sa valeur donnée par l’équation (5)

$\operatorname {d} s={\frac {a}{b}}\left(b+a{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\operatorname {d} p\,;\qquad$(14)

d’où, en intégrant

$s={\frac {a}{2b}}\left\{2bp+ap{\sqrt {1+p^{2}}}+a\operatorname {Log} .\left(p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\right\}\,;\qquad$(15)

il ne s’agira donc plus, pour obtenir la longueur de l’arc de courbe compris depuis l’origine jusqu’au point $(x,y)$, que de mettre pour $p,$ dans cette formule, sa valeur tirée de l’équation (10).

En multipliant membre à membre les équations (4) et (14) il vient

$z\operatorname {d} s=a\operatorname {d} p,$

d’où, en intégrant et ayant égard à l’équation (10)

$\int z\operatorname {d} s=ap={\sqrt {2b\left\{y+a+b-{\sqrt {2by+(a+b)^{2}}}\right\}}}.\qquad$(15)

Tel est donc le poids de l’arc de courbe compris depuis le point le plus bas jusqu’au point $(x,y)$.

Enfin, en désignant par $r$ le rayon de courbure, on aura

$r={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}},$

ou bien, en mettant pour ${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur donnée par l’équation (5)

$r-{\frac {a}{b}}\left(1+p^{2}\right)\left(b+a{\sqrt {1+p^{2}}}\right).\qquad$(16)

Cette formule prouve, en particulier, qu’au point le plus bas le rayon de courbure est ${\frac {a}{b}}(a+b).$