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Si l’on veut transporter l’origine au point quelconque $(-t,-u),$ auquel cas $t$ et $u$ seront les coordonnées du point le plus bas de la courbe, il ne s’agira que de changer respectivement $x$ et $y$ en $t+x$ et $u+y,$ ce qui donnera

$v=z+u+y,\qquad \ \$(11)

$v+s=z.e^{\frac {t+x}{z}},\qquad$(12)

$v^{2}-s^{2}=z^{2}.\quad \qquad$(13)

III. Solution du problème. Soit présentement $2c$ la longueur totale du fil en équilibre sur les deux points fixes $(a,b),(a',b')$ que, pour fixer les idées, nous supposons situés l’un et l’autre du côté positif du point le plus bas $(t,u).$ Alors $v,v'$ étant les longueurs des deux parties extrêmes, pendant verticalement, et $s,s'$ les longueurs de la chaînette comptées depuis le point $(t,u)$ situé sur son prolongement, jusqu’aux points $(a,b),(a',b'),$ la longueur de la partie intermédiaire sera $s-s'$ ; de sorte qu’on aura

$v+v'+(s-s')=2c.\qquad$(14)

On aura, en outre, en vertu des équations (11), (12), (13),

${\begin{array}{lrlr}v=z+u+b,&(15)&v'=z+u+b',&(18)\\\\v+s=z.e^{\frac {t+a}{z}},&(16)&v'+s'=z.e^{\frac {t+a'}{z}},&(19)\\\\v^{2}-s^{2}=z^{2}\,;&(17)&v'^{2}-s'^{2}=z^{2}\,;&(20)&\end{array}}$

équations au moyen desquelles on déterminera les sept inconnues $t,u,v,v',$$s,s',z,$ lorsque les grandeurs $a,a',b,b',c$ seront données.

Comme les inconnues $t$ et $u$ sont étrangères au problème qui nous occupe, il convient de les éliminer d’abord. Il suffit pour cela