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Mais on a $u={\frac {\nu }{k}}.$ Soient $u',u''$ les valeurs de $u$ pour deux points des barres ayant la même abscisse $x$, et $k',k''$ les conductibilités. Puisque $\nu$ est le même pour l’une et l’untre, on a $u':u''::k'':k'\,;$ c’est-à-dire que les températures sont en raison inverse des conductibilités.

xxv. Considérons présentement le mouvement varié de la chaleur dans une barre hétérogène. En désignant par $c$ la chaleur spécifique, nous aurons l’équation

(c)$\qquad c\omega .{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=\omega {\frac {\operatorname {d} ^{2}ku}{\operatorname {d} x^{2}}}-\gamma \varepsilon .u.$

Les équations définies seront, par exemple, $u=\theta$ pour $x=0,\ u=\theta '$ pour $x=l,$ et $u=\operatorname {F} (x)$ pour $t=0,$ de $x=0$ à $x=l.$ En posant $ku=\nu ,$ puis se rappelant que $c,k,\gamma$ sont des fonctions quelconques de $x,$ et faisant, en conséquence,

${\frac {k}{c}}=\operatorname {f} (x),\qquad {\frac {\gamma \varepsilon }{c\omega }}=\operatorname {f} _{1}(x),$

l’équation (c) se transformera dans celle-ci :

(d)$\qquad {\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {f} (x)-\nu \operatorname {f} _{1}(x).$

Pour intégrer l’équation (d) on formera, comme à l’art. xiv, l’intégrale générale d’un nombre infini d’intégrales particulières.

Soit

$\Sigma \nu _{m}e^{-mt}=\nu ,$

la substitution donnera

$-\Sigma \nu _{m}e^{-mt}=\operatorname {f} (x)\Sigma e^{-mt}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu _{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}-\operatorname {f} _{1}(x)\Sigma e^{-mt}\nu _{m},$