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des théorèmes mécaniques
dérons ΓΘ comme un levier ayant pour milieu fixe Α.
Menons une parallèle quelconque ΜΝ à ΒΔ, qui coupe le cercle ΑΒΓΔ en Ξ, Ο, le diamètre ΑΓ en Ζ, les droites ΑΕ, ΑΖ en Π, Ρ. Si, par cette droite ΜΝ, on mène un plan perpendiculaire à ΑΓ, il coupera le grand cylindre suivant le cercle ΜΝ, la sphère suivant le cercle ΞΟ, le grand cône ΑΕΖ suivant le cercle ΠΡ. On a (par identité) :
ΓΑ × ΑΣ = ΜΣ × ΣΠ,
puisque ΓΑ = ΜΣ et ΑΣ = ΣΠ. Mais (dans le triangle rectangle ΑΞΓ) on a :
ΑΞ² = ΓΑ × ΑΣ.
Donc aussi :
ΜΣ × ΣΠ = ΑΞ² [= ΞΣ² + ΑΣ²] = ΞΣ² + ΣΠ².
D’autre part, on a (toujours par identité) :
ΓΑΑΣ = ΜΣΣΠ.
Remplaçant ΓΑ par son égal ΑΘ et multipliant les deux termes du second membre par ΜΖ, on a :
ΑΘΑΣ = ΜΣ²ΜΣ × ΣΠ,
ou, en substituant la valeur de ΜΣ × ΣΠ trouvée ci-dessus :
ΑΘΑΣ = ΜΣ²ΞΣ² + ΣΠ² = ΜΝ²ΞΟ² + ΠΡ².
(Les aires des cercles étant proportionnelles aux
