On aurait une conclusion identique dans le cas de
3o Il n’y a pas de limite. On a . Soient deux nombres tels que
Quel que soit , il y a et tels que
d’où résulte
Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les théorèmes suivants :
23. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que, à tout nombre positif corresponde un entier tel que les conditions , entraînent .
1o La condition est nécessaire, parce que, d’après l’étude du cas 1o (§ 22), elle est remplie si la suite a une limite finie.
2o La condition est suffisante, car elle n’est pas remplie dans les cas 2o et 3o, puisqu’il y a alors un nombre positif ( dans le cas 2o, dans le cas 3o) auquel certaines différences sont au moins égales, et pouvant être choisis supérieurs à tout entier .
24. Théorème II. — Si l’on a deux suites
(1) |
||
(2) |
dont la première a pour limite un nombre , la condition nécessaire et suffisante pour que la seconde ait aussi pour limite est que ait pour limite 0.
1o La condition est nécessaire. Supposons que la suite (2) ait pour limite , comme la suite (1).