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THÉORÈMES SUR LES LIMITES
26. Théorème IV. — Si l’on a deux suites
ayant respectivement pour limites et , a pour limite .
Dans le cas où , ce théorème se réduit à la partie 1o du Théorème II.
Considérons le cas où .
Supposons par exemple . Soit un nombre rationnel positif. On peut déterminer quatre nombres rationnels tels que
(1)
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|
avec
(2)
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,.
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Quand dépasse un certain entier , on a
(3)
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.
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On déduit respectivement de (1) et (3)
d’où
.
Comme, d’après (2) ( étant rationnels)
,
et que est un nombre positif rationnel quelconque, on a
,
c’est-à-dire, d’après le Théorème III,
.
Comme les nombres opposés à et sont et (§ 20), on a aussi (§ 16)
.
et
.