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FONCTIONS D’ARGUMENTS RATIONNELS

suivantes :

$|x-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$,$|y-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

On prendra donc ${\alpha ={\frac {\varepsilon }{2}}}$.

33. La fonction d’arguments rationnels $xy$, qui est définie en tout point rationnel, est uniformément continue dans tout champ borné. Soit le champ borné $\mathrm {C}$

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,

$a,a',b,b'$ étant des nombres finis. Prenons un nombre positif rationnel $\mathrm {A}$ supérieur à toutes les valeurs absolues des nombres $a,a',b,b'$ ; on aura, pour tout point du champ $\mathrm {C}$,

(1)

$|x|<\mathrm {A}$,$|y|<\mathrm {A}$.

Il s’agit de satisfaire, $\varepsilon$ étant positif et rationnel, à la condition

(2)

$|xy-x'y'|<\varepsilon$,

qui peut s’écrire

$|(x-x')y+(y-y')x'|<\varepsilon$.

Cette condition sera vérifiée si l’on vérifie les suivantes :

$|x-x'|\cdot |y|<{\frac {\varepsilon }{2}}$,$|y-y'|\cdot |x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$,

que nous remplacerons, en tenant compte de (1), par

$|x-x'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}$,$|y-y'|\mathrm {A} <{\frac {\varepsilon }{2}}$.

On satisfait donc à (2) en prenant ${\alpha ={\frac {\varepsilon }{2\mathrm {A} }}}$.

34. La fonction ${\frac {x}{y}}$ est définie en tout point rationnel pour lequel ${y\neq 0}$. Si donc on considère le champ borné $\mathrm {C}$

$a\leqslant x\leqslant a'$,$b\leqslant y\leqslant b'$,

pour que ${\frac {x}{y}}$ soit définie dans ce champ, il faut et il suffit que