46
THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
Ces deux suites ont des limites que je désigne respectivement par et .
Comme chacun des nombres est au moins égal à , on a . Je dis qu’on ne peut avoir . Si cela était, en prenant tel que , on aurait ; on pourrait trouver dans le champ un point tel que ; dans , un point tel que , … ; et généralement, dans le champ , un point tel que . La suite des points , , , , tend vers , puisque tend vers 0 et que , , …. Donc doit tendre vers , ce qui est contradictoire avec le fait que tous les nombres surpassent .
Donc ; de même .
Les suites (2) ont pour limite commune . Il en résulte que, étant donné , on peut déterminer de manière que et diffèrent de de moins de , et par suite de manière que, en tout point du champ (1), on ait
(3)
|
|
|
Réciproquement, si on suppose qu’à tout nombre positif correspond tel que, dans le champ (1), on a la condition (3), est continue au point . Car, soit une suite de points
tendant vers ; quand dépasse une certaine valeur , le point est contenu dans le champ (1), donc la condition (3) est vérifiée en remplaçant par ; ceci montre que a pour limite