47
THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
. Ainsi, la définition de la continuité au point peut être remplacée par la suivante :
La fonction est continue au point si, à tout nombre positif correspond un nombre positif tel que les conditions
,
,
entraînent
.
44. Si une fonction d’une seule variable , continue dans l’intervalle borné , prend pour et deux valeurs différentes, et si est un nombre compris entre ces valeurs, il y a au moins un nombre de l’intervalle pour lequel .
On a soit, par exemple, , et soit tel que
.
D’après la continuité de , il y a certainement un nombre tel que, dans , est toujours , et un nombre tel que, dans , est toujours . Considérons les nombres compris entre et et tels que, dans l’intervalle
,
est constamment . L’ensemble de ces nombres comprend , ne comprend pas les nombres supérieurs à ; la borne supérieure de cet ensemble est donc, telle qu’on a
.
D’après la définition de , pour tout nombre intérieur à , on a , tandis que, quel que soit , l’intervalle contient des points où . Donc l’intervalle contient des points où et d’autres où ; donc les bornes supérieure et inférieure de dans cet intervalle comprennent