non développables en séries de Taylor[1]. Il y a plus. Du point de vue même des mathématiques pures, une extension nouvelle de la notion de fonction apparaissait nécessaire. On constatait, en effet, qu’il existe des expressions algébriques[2] dépendant d’une variable x — par conséquent, des fonctions définies en termes purement mathématiques — qui ne sont pas développables en séries de Taylor : c’est le cas notamment pour les séries convergentes de sinus et de cosinus connues sous le nom de « séries de Fourier »[3]. Ayant reconnu ce fait, on fut tout d’abord amené à préciser la terminologie jusqu’alors en usage. Sous le nom de fonctions analytiques, on continua d’étudier les fonctions développables en séries de Taylor ; mais on se réserva de donner une suite à la théorie de ces fonctions en abordant plus tard les fonctions non-analytiques.
Et, aussi bien, même dans le domaine restreint des fonctions analytiques, l’insuffisance de la méthode fondée sur les séries ne devait pas tarder à se faire sentir.
Le postulat de cette méthode, est, en effet, que, si l’on veut bien se contenter d’une approximation déterminée à l’avance, on est en droit de remplacer, dans tous les calculs, les séries par des polynomes. Or, supposons que cette condition soit remplie, pour une certaine série, lorsque l’on donne à la variable x certaines valeurs particulières, par exemple des valeurs voisines de zéro.
- ↑ L’étude systématique des fonctions de cette nature fut inaugurée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822.
- ↑ Au sens le plus large du mot « algébrique » ; lorsque ces expressions sont transcendantes, on les appelles d’ordinaire « expressions analytiques ».
- ↑ Ces séries introduites par Fourier dans l’ouvrage cité ci-dessus avaient déjà été considérées dans des cas particuliers, à partir de 1748, par Euler, Clairaut, Lagrange.
