L’étude du problème de l’intégration nous suggère des remarques semblables.
On sait que le calcul des intégrales définies
portant sur la racine carrée d’un polynome en x, ne peut être effectué en algèbre étémentaire que si les polynomes sont de degré 1 ou 2 (n égal à 1 ou à 2). Si n est plus grand que 2, ce calcul devient aussi impossible que l’est la résolution d’une équation algébrique du cinquième degré. Ayant reconnu cette impossibilité, va-t-on renoncer étudier plus longtemps les intégrales y et z dans lesquelles n a la valeur 3 ? Nullement, car on découvre une voie détournée qui permet de pénétrer au cœur de leurs propriétés. Lorsque z est égal à l’intégrale
x est inversment une certaine fonction de z, que j’appelle p(z). Or on constate que cette fonction est facile à construire et jouit de propriétés extrêmement remarquables. Elle appartient à la famille des « fonctions elliptiques », qui est apparentée à celle des fonctions trigonométriques, mais est beaucoup plus générale. Dès lors, plus de difficulté. Au lieu de s’attaquer directement à l’intégrale qui donne la valeur de z, on l’étudiera indirectement en analysant les propriétés de la fonction p(z). — On constate d’autre part, que l’intégrale définie