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L’étude du problème de l’intégration nous suggère des remarques semblables.

On sait que le calcul des intégrales définies

 ;

portant sur la racine carrée d’un polynome en x, ne peut être effectué en algèbre étémentaire que si les polynomes sont de degré 1 ou 2 (n égal à 1 ou à 2). Si n est plus grand que 2, ce calcul devient aussi impossible que l’est la résolution d’une équation algébrique du cinquième degré. Ayant reconnu cette impossibilité, va-t-on renoncer étudier plus longtemps les intégrales y et z dans lesquelles n a la valeur 3 ? Nullement, car on découvre une voie détournée qui permet de pénétrer au cœur de leurs propriétés. Lorsque z est égal à l’intégrale

,

x est inversment une certaine fonction de z, que j’appelle p(z). Or on constate que cette fonction est facile à construire et jouit de propriétés extrêmement remarquables. Elle appartient à la famille des « fonctions elliptiques », qui est apparentée à celle des fonctions trigonométriques, mais est beaucoup plus générale. Dès lors, plus de difficulté. Au lieu de s’attaquer directement à l’intégrale qui donne la valeur de z, on l’étudiera indirectement en analysant les propriétés de la fonction p(z). — On constate d’autre part, que l’intégrale définie