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392. — Le mot « intervalle » éveille dans notre esprit une image physique : c’est qu’en effet ce mot, comme la plupart de ceux qu’emploie la théorie des fonctions, fait allusion à la représentation géométrique des nombres-abscisses, Portons les valeurs de $x,a$ et $b,$ à partir d’une origine $o,$ sur un axe orienté n^o 127 : ces valeurs

axe orienté avec x entre a et b

sont alors des abscisses, et nous constatons que si $a<x<b,$ l’extrémité de l’abscisse $x$ est située entre les extrémités des abcisses $a$ et $b\,:$ c’est pourquoi nous disons que le point représentatif de $x$ est « dans l’intervalle $a,b$ ». C’est encore par allusion à la figuration des abscisses que nous disons d’un nombre qu’il est « situé » dans un intervalle ou « au voisinage » d’un autre nombre. Ces locutions se comprennent d’elles-mêmes.

393. Fonction inverse. — Soit $y=f(x)$ une fonction de $x.$ L’égalité qui la définit peut s’écrire $y-f(x)=0$ et il nous est loisible, évidemment, de la considérer comme une relation implicite définissant $x$ en fonction de $y.$ Ainsi la même loi de correspondance qui fait correspondre une valeur de $y$ à une valeur de $x,$ fait correspondre inversement une valeur de $x$ à une valeur de $y,$ se donner une fonction $y$ de $x,$ c’est se donner du même coup une fonction^[1] $x$ de $y\,:$ cette fonction est appelée « fonction inverse » de la fonction $f(x)$ ou $y(x).$

Exemples. — La fonction inverse de la fonction $y=x^{2}$ est la fonction $x={\sqrt {y}}.$ La fonction inverse de $y=x^{2}+x$ est

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {1-4y}}}{2}}.$

Remarque. — Il importe de se garder d’une confusion à laquelle pourrait prêter notre langage. On sait que l’on appelle inverse d’un nombre $a$ le nombre ${\frac {1}{a}}\,;$ on appellera, semblablement, in-

1. La fonction inverse, naturellement, ne peut pas toujours être mise sous la forme : $x=$expression algébrique de $y$ (cf, n^o 390).