tion de physicien, il montre comment les équations aux dérivées partielles résultent du passage à la limite d’un système d’équations différentielles ordinaires relatives aux diverses molécules et dans lesquelles sont explicitement mises en évidence les actions mutuelles exercées par ces molécules. Le passage du discontinu au continu, la fusion des particules les unes dans les autres qui s’introduit dans toutes les théories physiques conduisant à des équations aux dérivées partielles, amène ainsi à considérer la résolution de ces équations comme équivalente à celle d’un système d’un nombre infini d’équations différentielles ordinaires, et fait espérer à Henri Poincaré qu’on retrouvera dans cette voie la rigueur cherchée. On voit s’introduire ainsi, la physique servant de guide, la manière de poser sous forme d’équations intégrales tous les problèmes traduits jusque-là par des équations aux dérivées partielles. Le progrès ainsi préparé ne devait pas tarder à prendre une énorme importance.
C’est cependant par une autre voie, ouverte dans sa note de 1894 sur « l’équation des vibrations d’une membrane » que Poincaré parvint à établir avec une entière rigueur l’existence de toutes les vibrations simples dont la superposition permet de représenter le mouvement le plus général de ce corps élastique, complétant de manière définitive et par un procédé nouveau les travaux de M. Schwartz qui avait établi l’existence du son fondamental, du premier terme de la série, et ceux de M. Picard relatifs au second terme.
Puis en 1895 et 1896 apparut à Poincaré l’analogie cachée entre la décomposition qui s’introduit ainsi dans les problèmes de propagation de la chaleur et d’élasticité, et le développement en série par lequel Neumann avait résolu le problème de Dirichlet. La véritable signification de ce développement se trouvait mise en évidence ; elle permettait de supprimer les restrictions introduites dans la démonstration de Neumann et de l’étendre immédiatement au cas où la surface fermée pour laquelle on pose le problème de Dirichlet est soumise seulement à la condition de posséder deux rayons de courbure en chaque point. Encore cette condition n’est-elle probablement pas nécessaire.
L’analogie ainsi établie entre toutes ces questions a préparé la voie pour le développement de la solution qu’a donnée Fredholm du problème des équations intégrales. Sans aucune difficulté, Poincaré montre ensuite comment le procédé qu’il a employé pour étendre la
