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ANALYSE. — Théorèmes sur les nombres premiers. Note de M. E. Proth.

« I. Le nombre $N$ est un nombre premier, si $a^{x}-1$ est divisible par $N$ , pour $x$ égal à ${\frac {N-1}{2}}$ , et non pour toute autre valeur de $x$ , diviseur de ${\frac {N-1}{2}}$ .

« II. Le nombre $N$ est un nombre premier, si $a^{x}-1$ est divisible par $N$ , pour $x$ égal à $N-1$ , et si $a^{x}-1$ est premier avec $N$ , pour toute valeur de $x$ , diviseur de $N-1$ , moindre que ${\sqrt {N}}$ (caractéristique).

« III. Soit donné le nombre $N=m2^{k}$ , où $m$ est impair et $2^{k}>m$ . Soit $a$ non résidu de $N$ . Cela posé, le nombre $N$ est premier, si $a^{\frac {N-1}{2}}+1$ est divisible par $N$ . $N$ est composé dans le cas contraire.

« IV. Soit donné $N=mP+1$ , où $m$ est un entier quelconque et $P$ un nombre premier plus grand que ${\frac {1}{2}}{\sqrt {N}}$ . Cela posé, le nombre $N$ est premier, si $a^{N-1}-1$ est divisible par $N$ , sans que $a^{m}\pm 1$ le soit.

« Remarque. — Dans ce qui précède, nous supposons toujours $a$ et $N$ premiers entre eux, et $a<N$ .

« À l’aide des théorèmes précédents et de quelques autres, nous avons trouvé la solution générale du problème suivant : Vérifier rapidement si un nombre quelconque est premier ou non, et même trouvé les diviseurs de certaines classes de nombres. »

CHIMIE MINÉRALE. — Note sur un remarquable spécimen de siliciure de fer ; par M. J.-Lawrence Smith.

« Le spécimen de fer sur lequel je désire appeler l’attention est en ma possession depuis deux ou trois ans, mais c’est seulement tout récemment que je l’ai examiné d’une façon sérieuse. Mon attention avait été appelée sur lui par un bijoutier qui l’avait en sa possession.

« C’est une pièce de fonte ayant la forme d’un lingot des hauts-fourneaux. Sa surface brillante appelait spécialement mon attention. Il résistait à presque tous les agents, sauf à l’acide fluorhydrique, à la soude caustique et à la potasse fondues et chauffées au rouge (la masse en fusion étant subséquemment soluble dans les acides). L’acide chlorhydrique attaque le fer légèrement, en dégageant un peu de gaz.

« La masse pèse à peu près 3 kilogrammes. C’est évidemment une partie d’une masse plus considérable. Sa couleur est à peu près celle du platine, et