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telle que, quels que soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a $\mathrm {A} <y\leqq \mathrm {B}$ est mesurable, elle est intégrable par le procédé indiqué. Une telle fonction sera dite sommable. L’intégrale d’une fonction sommable est comprise entre l’intégrale par défaut et l’intégrale par excès. De sorte que, si une fonction intégrable au sens de Riemann est sommable, l’intégrale est la même avec les deux définitions. Or, toute fonction intégrable au sens de Riemann est sommable, car l’ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle, et l’on peut démontrer que si, en faisant abstraction d’un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle, il reste un ensemble en chaque point duquel une fonction est continue, cette fonction est sommable. Cette propriété permet de former immédiatement des fonctions non intégrables au sens de Riemann et cependant sommables. Soient $f(x)$ et $\varphi (x)$ deux fonctions continues, $\varphi (x)$ n’étant pas toujours nulle ; une fonction qui ne diffère de $f(x)$ qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle partout dense et qui en ces points est égale à $f(x)+\varphi (x)$ est sommable sans être intégrable au sens de Riemann. Exemple : La fonction égale à $0$ si $x$ irrationnel, égale à $1$ si $x$ rationnel. Le procédé de formation qui précède montre que l’ensemble des fonctions sommables a une puissance supérieure au continu. Voici deux propriétés des fonctions de cet ensemble.

» 1^o Si $f$ et $\varphi$ sont sommables, $f+\varphi$ et $f\varphi$ le sont et l’intégrale de $f+\varphi$ est la somme des intégrales de $f$ et de $\varphi$.

» 2^o Si une suite de fonctions sommables a une limite, c’est une fonction sommable.

» L’ensemble des fonctions sommables contient évidemment $y=k$ et $y=x$ ; donc, d’après 1^o, il contient tous les polynomes et comme, d’après 2^o, il contient toutes ses limites, il contient donc toutes les fonctions continues, toutes les limites de fonctions continues, c’est-à-dire les fonctions de première classe (voir Baire, Annali di Matematica, 1899), il contient toutes celles de seconde classe, etc.

» En particulier, toute fonction dérivée, limitee supérieurement en valeur absolue, étant de première classe, est sommable et l’on peut démontrer que son intégrale, considérée comme fonction de sa limite supérieure, est une de ses fonctions primitives.

» Voici maintenant une application géométrique : si $|f'|$, $|\varphi '|$, $|\psi '|$ sont limitées supérieurement, la courbe

$x=f(t),\ y=\varphi (t),\ z=\psi (t)$

a pour longueur l’intégrale de ${\sqrt {f'^{2}+\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}$. Si $\varphi =\psi =0$, on a la varia-