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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur iinlègrale de Stieltjes et sur (es opérations fonctionnelles linéaires. Note de M. Henri Lkbesgue, présentée par M. Emile Picard.
On désigne sous le nom ^’intégrale de Stieltjes., et l’on représente par le
symbole / f[iv) do(.{oc), l’opération fonctionnelle faisant correspondre à
/(x) un nombre défini de la façon suivante. Divisons l’intervalle (a, h) en un nombre fini d’intervalles partiels (j ?, it’, + i), dans chacun d’eux prenons
un nombre ^, formons la somme ^ /(^,) [a(a7, vi) — <^(^i)]i puis passons
à la limite en faisant tendre vers zéro le maximum des longueurs Xi+i — Xi.
Pour qu’il y ait intégrale de Stieltjes il faut que ce passage à la limite ait un sens ; il en est ainsi comme l’a prouvé Stieltjes(’)dans le cas où, /(a ?) étant continue, a(.’r) est une fonction croissante et par suite aussi lorsque, f{x) étant continue, a (x) est à variation bornée..D’ailleurs, cette condition que «(a*) soit à variation bornée est indispensable si l’on veut que /(a ;) puisse être continue dans (r/, b) mais non soumise à d’autres conditions ; on le voit en faisant/(.r) se ; i.
Je me bornerai à la considération de ce cas ; y continue, a à variation bornée. C’est le seul qui a été, je crois, utilisé jusqu’ici.
À l’occasion d’un résullat très intéressant donné récemment par M. F. Riesz (-), je voudrais indiquer les liens étroits qu’il y a entre les intégrales de Stieltjes et les intégrales de fonctions sommables.
Soit i’(a ?) la variation totale de «(a ?) dans (a, x). Faisons l’inversion de cette fonction en convenant, si v{x) est constante et de valeur v^ dans tout un intervalle (/, // ?), de désigner para ?« ’„) l’une seulement des valeurs de (/, m) ; la plus petite /, par exemple.
Si i’(x’) est discontinue pour x ^ x^, -r(i’) n’est pas définie dans l’intervalle [t’(a-|, — o), t’(.r’oH- o)J, sauf pour la valeur (’(.r„) ; convenons que dans tout cet intervalle on aura x(i’) = x^.
Alors al.r(f)| a une valeur constante oi.(Xf,) dans v(x„— o), (’(a’o + o)] et tend vers des valeurs déterminées a(j7„ — o), «.(x^-h o), quand i> tend vers les extrémités de cet inlervalle par valeurs extérieures à cet intervalle.
(’) Recherches sur les fractions continues {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, iSg/J).
(’) Sur les opérations fonctionnelles linéaires (Comptes rendus, 29 novenil)re 1909).
